5个多月宝宝咳嗽，需要结合具体病因进行治疗，比如普通感冒导致的咳嗽，肺炎引起的咳嗽以及流感导致的咳嗽可能需要对症治疗，抗感染治疗或抗病毒治疗等相关的处理。
1、普通感冒，一般情况下以对症治疗为主，如果孩子表现为流清水鼻涕、打喷嚏、咳嗽症状，无其他明显表现，此时可以使用肺力咳合剂等止咳的药物对症治疗。
2、肺炎，肺炎可引起咳嗽，往往会有明显发热，甚至可能会有胸闷等其他症状，血常规可能会发现白细胞有明显升高。此时往往需要抗感染治疗，比如头孢类抗生素等。
3、流感导致的咳嗽，流感往往会有高热，头痛等相关的症状，孩子由于不能自我表达，可能会出现哭闹不安等表现，还可能会出现流鼻涕，打喷嚏等病毒性感冒的特征，此时除了对症治疗以外，往往需要使用奥司他韦等抗病毒的药物进行治疗。
综上所述，5个多月宝宝咳嗽，应该及时就医，在医生的指导下进行处理。